Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1 cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．

①若a＝，求PQ的長(zhǎng)；

②是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[解答]解：(1)△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，D是BC的中點(diǎn)， 　　∴BD＝CD＝12BC＝6 cm， 　　∵a＝2， 　　∴BP＝2tcm，DQ＝tcm， 　　∴BQ＝BD－QD＝6－t(cm)， 　　∵△BPQ∽△BDA， 　　∴BPBD＝BQAB， 　　即2t6＝6－t10， 　　解得：t＝1813； 　　(2)①過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E， 　　∵四邊形PQCM為平行四邊形， 　　∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ＝CM， 　　∴PB：AB＝CM：AC， 　　∵AB＝AC， 　　∴PB＝CM， 　　∴PB＝PQ， 　　∴BE＝12BQ＝12(6－t)cm， 　　∵a＝52， 　　∴PB＝52tcm， 　　∵AD⊥BC， 　　∴PE∥AD， 　　∴PB：AB＝BE：BD， 　　即52t10＝12(6－t)6， 　　解得：t＝32， 　　∴PQ＝PB＝52t＝154(cm)； 　�、诓淮嬖冢�理由如下： 　　∵四邊形PQCM為平行四邊形， 　　∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ＝CM， 　　∴PB：AB＝CM：AC， 　　∵AB＝AC，∴PB＝CM，∴PB＝PQ． 　　若點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ＝∠PCM， 　　∵PM∥CQ， 　　∴∠PCQ＝∠CPM， 　　∴∠CPM＝∠PCM， 　　∴PM＝CM， 　　∴四邊形PQCM是菱形， 　　∴PQ＝CQ， 　　∴PB＝CQ， 　　∵PB＝atcm，CQ＝BD＋QD＝6＋t(cm)， 　　∴PM＝CQ＝6＋t(cm)，AP＝AB－PB＝10－at(cm)， 　　即at＝6＋t①， 　　∵PM∥CQ， 　　∴PM：BC＝AP：AB， 　　∴6＋t12＝10－at10， 　　化簡(jiǎn)得：6at＋5t＝30②， 　　把①代入②得，t＝－611， 　　∴不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上． 　　[專(zhuān)題]幾何綜合題． 　　[分析](1)由△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得BD與CD的長(zhǎng)，又由a＝2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得t的值； 　　(2)①首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB＝PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程52t10＝12(6－t)6，解此方程即可求得答案； 　�、谑紫燃僭O(shè)存在點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB＝CQ，PM：BC＝AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負(fù)，故可得不存在． 　　[點(diǎn)評(píng)]此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．