Question

（2012•襄陽）如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax²+bx+c經過O，D，C三點．
（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據折疊圖形的軸對稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長，進而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進一步能確定D點坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對應邊成比例求出對應的t的值．
（3）由于以M，N，C，E為頂點的四邊形，邊和對角線都沒明確指出，所以要分情況進行討論：
①EC做平行四邊形的對角線，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上，所以M點一定是拋物線的頂點；
②EC做平行四邊形的邊，那么EC、MN平行且相等，首先設出點N的坐標，然后結合E、C的橫、縱坐標差表示出M點坐標，再將點M代入拋物線的解析式中，即可確定M、N的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由題意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
設AD=x，則BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，∴AD=3．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴

9a+3b=10 64a+8b=0

，
解得

a=- 2 3 b= 16 3

∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x²+

16

3

x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴

CQ

AE

=

CP

DE

，即

t

4

=

10-2t

5

，
解得t=

40

13

．
當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴

PC

AE

=

CQ

DE

，即

10-2t

4

=

t

5

，
解得t=

25

7

．
∴當t=

40

13

或

25

7

時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．

（3）假設存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論：
①
EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；
則：M（4，

32

3

）；而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，-

14

3

）；
②EC為平行四邊形的邊，則EC

∥

.

MN，設N（4，m），則M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
將M（-4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=-38，此時 N（4，-38）、M（-4，-32）；
將M（12，m-6）代入拋物線的解析式中，得：m=-26，此時 N（4，-26）、M（12，-32）；
綜上，存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為：
①M₁（-4，-32），N₁（4，-38）；②M₂（12，-32），N₂（4，-26）；③M₃（4，

32

3

），N₃（4，-

14

3

）．

點評：考查了二次函數綜合題，題目涉及了圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等重點知識．后兩問的情況較多，需要進行分類討論，以免漏解．