【題目】通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整。
原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由。
(1)思路梳理
∵AB=CD,
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線。
根據(jù) ,易證△AFG≌ ,得EF=BE+DF。
(2)類比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí),仍有EF=BE+DF。
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程。
【答案】解:(1)SAS;△AFE。
(2)∠B+∠D=180°。
(3)BD2+EC2=DE2。理由見解析
【解析】
試題(1)在△AFG和△AEF中,,∴△AFG≌△AEF(SAS)。
(2)如圖,把△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,連接FG,
同(1)△AEF≌△AGF(SAS)得EF=GF;
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得BE=DG,∠B=∠ADG,
若EF=BE+DF,則GF=DG+DF。
∴點(diǎn)F、D、G共線。∴∠ADF+∠ADG180°,即∠B+∠D=180°。
(3)根把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,可使AB與AC重合,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和勾股定理,可得到BD2+EC2=DE2。
BD2+EC2=DE2。推理過程如下:
∵AB=AC,
∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,可使AB與AC重合(如圖)。
∵△ABC中,∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°。
∴EC2+CG2=EG2。
在△AEG與△AED中,
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),∠CAG=∠BAD。
∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD。
又∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),AD=AG,AE=AE,
∴△AEG≌△AED(SAS)。∴DE=EG。
又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,連接CE,已知點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為(-2,0),(6,-8).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F,使≌,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為(0,m),直線PB與直線l交于點(diǎn)Q.試探究:當(dāng)m為何值時(shí),是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,△A7A8A9,…,都是等腰直角三角形,且點(diǎn)A1,A3,A5,A7,A9的坐標(biāo)分別為A1 (3,0),A3 (1,0),A5 (4,0),A7 (0.0),A9 (5.0),依據(jù)圖形所反映的規(guī)律,則A102的坐標(biāo)為( 。
A. (2,25)B. (2,26)C. (,﹣)D. (,﹣)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校隨機(jī)抽取九年級(jí)部分同學(xué)接受一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng),學(xué)校收集整理數(shù)據(jù)后,將減壓方式分為五類,并繪制了圖1、圖2兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問題:
九年級(jí)接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
九年級(jí)共有500名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)聽音樂減壓的學(xué)生有多少名;
若喜歡“交流談心”的5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生,心理老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求同時(shí)選出的兩名同學(xué)都是女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推進(jìn)“傳統(tǒng)文化進(jìn)校園”活動(dòng),某校準(zhǔn)備成立“經(jīng)典誦讀”、“傳統(tǒng)禮儀”、“民族器樂”和“地方戲曲”等四個(gè)課外活動(dòng)小組.學(xué)生報(bào)名情況如圖(每人只能選擇一個(gè)小組):
(1)報(bào)名參加課外活動(dòng)小組的學(xué)生共有 人,將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形圖中m= ,n= ;
(3)根據(jù)報(bào)名情況,學(xué)校決定從報(bào)名“經(jīng)典誦讀”小組的甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)安排兩人到“地方戲曲”小組,甲、乙恰好都被安排到“地方戲曲”小組的概率是多少?請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),點(diǎn)E在BO上,EF垂直平分AB,垂足為F.
(1)求證:△BEF ∽△DCO;
(2)若AB=10,AC=12,求線段EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)按定價(jià)銷售某種商品時(shí),每件可獲利100元;按定價(jià)的八折銷售該商品5件與將定價(jià)降低50元銷售該商品6件所獲利潤相等.
(1)該商品進(jìn)價(jià)、定價(jià)分別是多少?
(2)該商場(chǎng)用10000元的總金額購進(jìn)該商品,并在五一節(jié)期間以定價(jià)的七折優(yōu)惠全部售出,在每售出一件該商品時(shí),均捐獻(xiàn)元給社會(huì)福利事業(yè),該商場(chǎng)為能獲得不低于3000元的利潤,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由我國完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達(dá)處時(shí),測(cè)得小島位于它的北偏東方向,且與航母相距80海里,再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處,測(cè)得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處,求還需航行的距離的長.
(參考數(shù)據(jù):,,,,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為2的圓O與含30°角的直角三角板ABC的AB邊切于點(diǎn)A,將直角三角板沿BA邊所在的直線向右平移,當(dāng)平移到AC與圓O相切時(shí),該直角三角板的平移距離為( )
A. B. C. 1D. 2
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