Question

11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點B作⊙O的切線DE，F(xiàn)為射線BD上一點，連接CF．
（1）求證：∠CBE=∠A；
（2）若⊙O的直徑為5，BF=2，tanA=2，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連接BO并延長交⊙O于點M，連接MC，根據(jù)圓周角定理求出∠A=∠M，∠MCB=90°，求出∠M+∠MBC=90°，根據(jù)切線性質(zhì)求出∠CBE+∠MBC=90°，推出∠CBE=∠M即可；
（2）過點C作CN⊥DE于點N，求出∠CNF=90°，求出tanM=tan∠CBE=tanA=2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：如圖，連接BO并延長交⊙O于點M，連接MC，
∴∠A=∠M，∠MCB=90°，
∴∠M+∠MBC=90°，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠CBE+∠MBC=90°，
∴∠CBE=∠M，
∴∠CBE=∠A；

（2）解：過點C作CN⊥DE于點N，
∴∠CNF=90°，
由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，
∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，
在Rt△BCM中，
∵BM=5，tanM=2，
∴$BC=2\sqrt{5}$，
在Rt△CNB中，
∵$BC=2\sqrt{5}，tan∠CBE=2$，
∴CN=4，BN=2，
∵BF=2，
∴FN=BF+BN=4，
在Rt△FNC中，
∵FN=4，CN=4，
∴$CF=4\sqrt{2}$．

點評 本題考查了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，能求出∠M=∠CBE=∠A是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．