Question

△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＞AC，直徑PD⊥BC，過P作PE⊥AB于E，PF⊥CA的延長線于F，求證：AE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：計算題

分析：連接PA，PB，PC，由直徑PD垂直于BC，利用垂徑定理得到PD平分BC，即PD垂直平分BC，得到PB=PC，利用等邊對等角得到一對角相等，由圓內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角得到一對角相等，再利用同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換得到∠PAF=∠PAE，利用AAS得到三角形PAF與三角形PAE全等，利用全等三角形對應邊相等得到PE=PF，利用HL得到直角三角形PBE與直角三角形PCF全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=CF，根據(jù)AB-AE=BE，CF=AF+AC，等量代換即可得證．

解答：解：連接PA，PB，PC，
∵直徑PD⊥BC，
∴PD平分BC，即PD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠PAF=∠PBC，∠PAE=∠PCB，
∴∠PAF=∠PAE，
在△APF和△APE中，

∠PAF=∠PAE ∠PFA=∠PEA=90° PA=PA

，
∴△APF≌△APE（AAS），
∴PE=PF，
在Rt△PBE與Rt△PCF中，

PE=PF PB=PC

，
∴Rt△PBE≌與Rt△PCF（HL），
∴BE=FC，
∴AB-AE=AC+AF，
∴2AE=AB-AC，
∴AE=

1

2

（AB-AC）．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．