Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，x₁，x₂是方程x²+4x﹣5=0的兩根．

（1）若拋物線的頂點(diǎn)為D，求S_△ABC：S_△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）首先解一元二次方程，求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到含有字母a的拋物線的交點(diǎn)式；然后分別用含字母a的代數(shù)式表示出△ABC與△ACD的面積，最后得出結(jié)論；

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系數(shù)a，得出拋物線的解析式．

解答：

解：（1）解方程x²+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，

由于x₁＜x₂，則有x₁=﹣5，x₂=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．

拋物線的解析式為：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），

∴對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），

令x=0，得y=﹣5a，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣5a）．

依題意畫出圖形，如右圖所示，則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，

過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．

S_△ACD=S_梯形ADEO﹣S_△CDE﹣S_△AOC

=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC

=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a

=15a，

而S_△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，

∴S_△ABC：S_△ACD=15a：15a=1；

（2）如解答圖所示，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，

設(shè)對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)F，則AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²．

∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，

由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，

即（9+81a²）+（4+16a²）=25+25a²，化簡得：a2=，

∵a＞0，

∴a=，

∴拋物線的解析式為：y=（x+5）（x﹣1）=x²+x﹣．

點(diǎn)評：

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程的解法、直角三角形與勾股定理、幾何圖形面積的計(jì)算等知識點(diǎn)，難度不是很大，但涉及的計(jì)算較多，需要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．注意第（1）問中求△ACD面積的方法．