Question

13．如圖，在等邊△ABC中，AC=4，點D、E、F分別在三邊AB、BC、AC上，且AF=1，FD⊥DE，∠DFE=60°，則AD的長為1.5．

Answer 1

分析 根據三角形的內角和定理列式求出∠2=∠3，再根據等邊三角形的三個角都是60°求出∠A=∠C，然后根據兩組角對應相等的兩個三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根據相似三角形對應邊成比例可得AD：CF=DF：EF，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出EF的長，然后代入數據進行計算即可得解．

解答 解：∵∠DFE=60°，
∴∠1+∠2+60°=180°，
∴∠2=120°-∠1，
在等邊△ABC中，∠A=∠C=60°，
∴∠A+∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠A-∠1=120°-∠1，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴AD：CF=DF：EF，
∵FD⊥DE，∠DFE=60°，
∴∠DEF=90°-60°=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$EF，
又∵AF=1，AC=4，
∴CF=4-1=3，
∴$\frac{AD}{3}$=$\frac{1}{2}$，
解得AD=1.5．
故答案為：1.5．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據平角等于180°和三角形的內角和定理求出∠2=∠3是解題的關鍵，也是本題的難點．