Question

19．令a、b、c三個(gè)數(shù)中最大數(shù)記作max{a，b，c}，直線y=$\frac{1}{2}$x+t與函數(shù)y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，則t的值為1或$\frac{65}{16}$．

Answer 1

分析 只需畫出函數(shù)y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的圖象，然后結(jié)合圖象并運(yùn)用分類討論的思想，就可解決問題．

解答 解：在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的圖象，如圖所示．

當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+t經(jīng)過（-2，0）或與拋物線y=-x²+4相切時(shí)，
直線y=$\frac{1}{2}$x+t與函數(shù)y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．
①若直線y=$\frac{1}{2}$x+t經(jīng)過（-2，0），
則有0=$\frac{1}{2}$×（-2）+t，
解得t=1；
②若直線y=$\frac{1}{2}$x+t與拋物線y=-x²+4相切，
則關(guān)于x的方程$\frac{1}{2}$x+t=-x²+4即x²+$\frac{1}{2}$x+t-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則△=（$\frac{1}{2}$）²-4×1×（t-4）=0，
解得t=$\frac{65}{16}$．
綜上所述：t=1或$\frac{65}{16}$．
故答案為1或$\frac{65}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于新定義型，主要考查了直線與拋物線的交點(diǎn)、根的判別式、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，在解決問題的個(gè)過程中用到了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)熟練掌握．