Question

6．已知拋物線y=x²-2（t+1）x-（2t+3）（t為常數(shù)，且t＞-1）．
（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是A、B點(diǎn)．
①A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB=2t+4（用含t的式子表示）；
②若A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且（OA-1）（OB+1）=4，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值，再利用配方法得到△=4（t+2）²，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△＞0，然后利用△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）利用求根公式法解方程x²-2（t+1）x-（2t+3）=0得到x₁=2t+3，x₂=-1，
①根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題可得到B（-1，0），A（2t+3，0），于是根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可得到AB=2t+4；
②由A、B的坐標(biāo)得OB=1，OA=2t+3，根據(jù)題意得（2t+3-1）（1+1）=4，然后解方程即可．

解答 （1）證明：△=4（t+1）²+4（2t+3）
=4t²+16t+16
=4（t+2）²，
∵t＞-1，
∴4（t+2）²＞0，即△＞0，
∴此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：x²-2（t+1）x-（2t+3）=0，
△=4（t+2）²，
x=$\frac{2（t+1）±2（t+2）}{2}$，
所以x₁=2t+3，x₂=-1，
①B（-1，0），A（2t+3，0），
∵t＞-1，
∴A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB=2t+3+1=2t+4；
②∵B（-1，0），A（2t+3，0），
∴OB=1，OA=2t+3，
∴（2t+3-1）（1+1）=4，解得t=0，
即t的值為0．
故答案為2t+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．解決本題的關(guān)鍵是利用公式法解一元二次方程．