Question

DB是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作DB的垂線，垂足為B，BC=3，sin∠A=

3

4

，則⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接OD，CD，過C作CE垂直于OD，交OD于點(diǎn)E，由DB為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于DB，且弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠BDC=∠A，由sinA的值得出sin∠BDC的值，在直角三角形BDC中，利用銳角三角函數(shù)定義由BC的長求出CD的長，再利用勾股定理求出BD的長，由四邊形BCED為矩形得到對邊相等，可得出BC=ED，EC=DB，設(shè)圓的半徑為r，用OD-ED表示出OE，在直角三角形OEC中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，即為圓的半徑．

解答：解：連接OD，CD，過C作CE⊥OD，交OD于點(diǎn)E，

∵DB為圓O的切線，
∴OD⊥DB，∠BDC=∠A，
又sinA=

3

4

，BC=3，CB⊥BD，
∴在Rt△BCD中，sin∠BDC=

BC

CD

=sinA=

3

4

，
解得：CD=4，
根據(jù)勾股定理得：BD=

CD2-BC2

=

7

，
∵四邊形BCED為矩形，
∴BC=ED=3，EC=DB=

7

，
設(shè)OC=OD=r，則OE=OD-ED=r-3，
在Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理得：OC²=OE²+EC²，
∴r²=（r-3）²+（

7

）²，
解得：r=

8

3

，
則⊙O的半徑為

8

3

．
故答案是：

8

3

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．