【題目】如圖1,拋物線軸交于點A4,0),與軸交于點B,在x軸上有一動點Em,0)(0m4),過點E軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點PPMAB于點M

1)求的值和直線AB的函數(shù)表達式;

2)在P點運動的過程中,請用含m的代數(shù)式表示線段PN;

3)設(shè)PMN的周長為,AEN的周長為,若,求m的值;

4)如圖2,在(3)條件下,將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為αα90°),連接,求的最小值.

【答案】(1)直線AB解析式為y=;(2)PN=m2+3m ;(3)2;(4)

【解析】試題解析:(1)(1)令y=0,求出拋物線與x軸交點,列出方程即可求出a,根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式;(2)由△PNM∽△ANE,推出,列出方程即可解決問題;(3)在y軸上 取一點M使得OM′=,構(gòu)造相似三角形,可以證明AM′就是的最小值;

試題分析:

1拋物線y=ax2+a+3x+3a≠0)與x軸交于點A4,0),

a=﹣……………………………………………2

A4,0),B0,3),

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

解得

直線AB解析式為y=﹣x+3 ……………………………………………4

設(shè)點Pm,﹣m2+m+3

N在直線AB上則N

PN=m2+m+3﹣m+3=﹣m2+3m ………………………………6

3)如圖1中,

PMABPEOA,

∴∠PMN=AEN,∵∠PNM=ANE

∴△PNM∽△ANE, ……………………………………………8

=,

NEOB,

=,

AN=4﹣m),

PN=m2+m+3m+3=﹣m2+3m

=,

解得m=2 ……………………………………………10

3)如圖2中,在y軸上 取一點M′使得OM′=,連接AM′PEE′,

OE′=2OM′OB=×3=4,

OE′2=OM′OB

=,∵∠BOE′=M′OE′

∴△M′OE′∽△E′OB,

==,

M′E′=BE′,

AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此時AE′+BE′最。▋牲c間線段最短,A、M′、E′共線時),

最小值=AM′==。

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B.2個
C.3個
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B.2
C.3
D.4

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