Question

【題目】如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．

（1）證明：ABCD=PBPD．

（2）如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結論成立嗎？請說明理由．

（3）已知拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，-3），頂點為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點，使得∠QAP=90°，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）（， ）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證；
（2）與（1）的證明思路相同；
（3）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線解析式求出點P的坐標，再過點P作PC⊥x軸于C，設AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據(jù)（2）的結論求出OD的長，從而得到點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點Q的坐標．

試題解析：

（1）證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴ABCD=PBPD；

（2）ABCD=PBPD仍然成立．

理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠CDP=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴ABCD=PBPD；

（3）設拋物線解析式為（a≠0），

∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，-3），

∴， 把（0，-3）帶入

得 y=x2-2x-3，

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴頂點P的坐標為（1，-4），

過點P作PC⊥x軸于C，過點Q向x軸作垂線，垂足為E.

設QE=m，由第(2)題結論得AE=2m，則Q點坐標為（2m -1，m）帶入y=x2-2x-3，

解得m=或m=0（舍去），把y=帶入y=x2-2x-3，解得x=或x=（舍去）

∴點Q的坐標為（， ）