Question

9．閱讀下列材料：
正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形．
數(shù)學(xué)老師給小明同學(xué)出了一道題目：在圖1正方形網(wǎng)格（每個小正方形邊長為1）中畫出格點△ABC，使AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$；
小明同學(xué)的做法是：由勾股定理，得AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，于是畫出線段AB、AC、BC，從而畫出格點△ABC．
（1）請你參考小明同學(xué)的做法，在圖2正方形網(wǎng)格（每個小正方形邊長為1）中畫出格點△A′B′C′（A′點位置如圖所示），使AB′=A′C′=5，B′C′=$\sqrt{10}$．（直接畫出圖形，不寫過程）；
（2）觀察△ABC與△A′B′C′的形狀，猜想∠BAC與∠B′A′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，作B'C'=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，A'B'=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，畫出圖形即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理，得出△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；

（2）猜想：∠BAC=∠B′A′C′．
證明：∵$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′．

點評 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時注意：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和等于斜邊長的平方，這是解答此題的關(guān)鍵．