Question

有一個測量彈跳力的體育器材，如圖所示，豎桿AC、BD的長度分別為200厘米、300厘米，CD=300厘米．現有一人站在斜桿AB下方的點E處，直立、單手上舉時中指指尖（點F）到地面的高度為EF，屈膝盡力跳起時，中指指尖剛好觸到斜桿AB上的點G處，此時，就將EG與EF的差值y（厘米）作為此人此次的彈跳成績．設CE=x（厘米），EF=a（厘米）．
（1）問點G比點A高出多少厘米？（用含y，a的式子表示）
（2）求出由x和a算出y的計算公式；
（3）現有甲、乙兩組同學，每組三人，每人各選擇一個適當的位置盡力跳了一次，且均剛好觸到斜桿，由所得公式算得兩組同學彈跳成績如下右表所示，由于某種原因，甲組C同學的彈跳成績辨認不清，但知他彈跳時的位置為x=150厘米，且a=205厘米，請你計算C同學此次的彈跳成績，并從兩組同學彈跳成績的整齊程度比較甲、乙兩組同學的彈跳成績．

	甲組			乙組
	A同學	B同學	C同學	a同學	b同學	C同學
彈跳成績（厘米）	36	39		42	44	34

（方差計算公式：S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，其中

.

x

表示x₁、x₂、…、x_n的平均數）

Answer 1

分析：（1）根據題意，構造直角△ABM與△AGN，解可得GN的長，即G比點A高出的距離；
（2）結合圖形，得出△ANG∽△AMB，根據相似三角形的性質，可得到y(tǒng)的計算公式；
（3）分別計算甲乙兩人的方差，并比較其大��；根據方差的意義，可得出結論．

解答：解：（1）過A作AM⊥BD于點M，交GE于N，
∵AC⊥CD，GE⊥CD，
∴四邊形ACEN為矩形．
∴NE=AC．
又∵AC=200，EF=a，FG=y，
∴GN=GE-NE=a+y-200．
即點G比點A高出（a+y-200）厘米．

（2）∵DM=AC=200，
∴BM=BD-DM=300-200=100．
∵GN∥BM，
∴△ANG∽△AMB．AM=CD=300，
∴

AN

AM

=

GN

BM

，即

x

300

=

a+y-200

100

．
∴y=

1

3

x-a+200．

（3）當x=150cm，a=205cm時，y=

1

3

×150-205+200=45（cm）．
即甲組C同學的彈跳成績?yōu)?5cm．
∵

.

x

_甲=

1

3

（36+39+45）=40，

.

x乙

=

1

3

（42+44+34）=40，
∴S_甲²=

1

3

[（36-40）²+（39-40）²+（45-40）²]=14，
S_乙²=

1

3

[（42-40）²+（44-40）²+（34-40）²]=

56

3

．
∴S_甲²＜S_乙²，即甲組同學的彈跳成績更整齊．

點評：本題考查方差的計算方法及意義．一般地設n個數據，x₁，x₂，…xn的平均數為

.

x

，則差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．