Question

如圖(1)，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．

(1)連接GD，求證：△ADG≌△ABE；

(2)連接FC，觀察并猜測(cè)∠FCN的度數(shù)，并說明理由；

(3)如圖(2)，將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB＝a，BC＝b(a、b為常數(shù))，E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小是否總保持不變，若∠FCN的大小不變，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形 　　∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90o 　　∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD 　　∴∠BAE＝∠DAG 　　∴△BAE≌△DAG　　2分 　　(2)∠FCN＝45o　　1分 　　理由是：作FH⊥MN于H 　　∵∠AEF＝∠ABE＝90o 　　∴∠BAE＋∠AEB＝90o，∠FEH＋∠AEB＝90o 　　∴∠FEH＝∠BAE 　　又∵AE＝EF，∠EHF＝∠EBA＝90o 　　∴△EFH≌△ABE　　2分 　　∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH 　　∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o　　1分 　　(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變　　1分 　　理由是：作FH⊥MN于H 　　由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o 　　結(jié)合(1)(2)得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 　　又∵G在射線CD上 　　∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o 　　∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE　　2分 　　∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE， 　　∴＝＝ 　　∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝　　2分 　　∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝