Question

如圖點P是等邊△ABC內(nèi)一點，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDC，連接PD．
（1）求證△DPC是等邊三角形；
（2）當(dāng)∠APC=150°時，試判斷△DPB的形狀，并說明理由；
（3）當(dāng)∠APB=100°且△DPB是等腰三角形，求∠APC的度數(shù)．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PC=DC，∠PCD=∠ACB=60°，即可得△DPC是等邊三角形；
（2）由△APC≌△BDC，可得∠BDC=∠APC=150°，由△DPC是等邊三角形，可得∠BDP=90°，可判斷△DPB的形狀是直角三角形；
（3）分三種情況討論：①PD=PB，②PD=DB，③PB=DB．

解答：解：（1）如圖，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△APC≌△BDC，PC=DC，∠PCD=∠ACB，
∵在等邊△ABC有∠ACB=60°
∴∠PCD=60°，
∴△DPC是等邊三角形；
（2）△DPB是直角三角形．
理由：由旋轉(zhuǎn)有∠BDC=∠APC=150°，
又由（1）△DPC是等邊三角形，
∴∠PDC=60°
∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，
∴△DPB是直角三角形；
（3）設(shè)∠APC=x，則∠BPD=200°-x，∠BDP=x-60°
①若PD=PB，則（200°-x）+2（x-60°）=180°，∴x=100°；
②若PD=DB，則2（200°-x）+（x-60°）=180°，∴x=160°；
③若PB=DB，則200°-x=x-60°，∴x=130°．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意旋轉(zhuǎn)前后得到的圖形是全等圖形，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．