Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)P（1，m）（m＞0）和點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求證：直線OP∥直線AQ；
（2）過點(diǎn)P作PB∥x軸，與直線AQ交于點(diǎn)B，如果AP⊥BO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線OP和AQ的解析式分別為y=k₁x和 y=k₂x+b₂．由題意得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-m），k₁=m，$\left\{\begin{array}{l}{k_2}+{b_2}=-m\\ 2{k_2}{+}{b_2}=0\end{array}\right.$，解方程組得出$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=m\\{b_2}=-2m\end{array}\right.$，得出k₁=k₂=m即可，
（2）證明四邊形POAQ是菱形，得出PO=AO，由勾股定理得出$\sqrt{1+{m^2}}=2$，得出$m=\sqrt{3}$，即可點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：設(shè)直線OP和直線AQ的解析式分別為y=k₁x和 y=k₂x+b₂．
根據(jù)題意，得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-m），k₁=m，$\left\{\begin{array}{l}{k_2}+{b_2}=-m\\ 2{k_2}{+}{b_2}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=m\\{b_2}=-2m\end{array}\right.$，
∵k₁=k₂=m，
∴直線OP∥直線AQ；
（2）解：∵OP∥AQ，PB∥OA，AP⊥BO，
∴四邊形POAQ是菱形，
∴PO=AO，
∴$\sqrt{1+{m^2}}=2$，
∴$m=±\sqrt{3}$．
∵m＞0，
∴$m=\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是$（{1，\sqrt{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的解析式、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，由勾股定理求出m是解決問題（2）的關(guān)鍵．