Question

12．在矩形ABCD中，BC=4，BG與對角線AC垂直且分別交AC，AD及射線CD于點E，F(xiàn)，G，當(dāng)點F為AD中點時，∠ECF的正切值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由在矩形ABCD中，BC=4，點F為AD中點，可求得AF=2，易證得△AEF∽△CEB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得BF=3FE，繼而求得答案．

解答 解：∵點F為AD中點，且AD=BC=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{FE}{BE}$=$\frac{AF}{CB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵F為AD的中點，由對稱性，得到BF=CF，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{3}$
∴CF=3EF
∴EC²=FC²-EF²=9EF²-EF²=8EF²
∴EC=2$\sqrt{2}$EF
∴tan∠ECF=$\frac{EF}{EC}$=$\frac{EF}{2\sqrt{2}EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選：C．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．