Question

如圖，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)三角形相似和全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題．

解答：解：HE=HF．
理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
在Rt△EPH和Rt△FQH中，

∠EPH=∠FQA ∠EHP=∠FHQ EP=FQ

，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．
∴HE=HF．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，兼顧了全等三角形的證明以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證三角形相似是解題的關(guān)鍵．