Question

如圖①，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對(duì)角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起。
（1）操作：如圖②，將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合），求證：BH·GD=BF²；
（2）操作：如圖③，△ECF的頂點(diǎn)F在△ABD的BD邊上滑動(dòng)（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG∥CE，交FE于點(diǎn)G，連接DG，探究：FD+DG=______，請予證明。

Answer 1

解：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對(duì)角線BD（EF）剪開，
∴∠B=∠D，
∵將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴，
即BH·GD=BF·DF，
∴BH·GD=BF²；
（2）BD，證明如下：
∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD。