Question

11．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B．延長BO與⊙O交于點(diǎn)B，延長BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長線交于點(diǎn)E，
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由SSS證明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，證出OC是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出AD=2OC，由已知設(shè)OC=2t，則BC=3t，AD=4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答 （1）證明：連接OA，如圖1所示：
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB為⊙O的切線；
（2）解：連接AD，如圖2所示：
∵BD是直徑，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵BC=AC，OB=OD，
∴OC是△ABD的中位線，
∴AD=2OC，
∵OC：BC=2：3，
設(shè)OC=2t，則BC=3t，AD=4t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{BC}$，即$\frac{3t}{2t}=\frac{PC}{3t}$，
∴PC=$\frac{9}{2}$t，OP=$\frac{13}{2}$t．
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{8}{13}$，
設(shè)EA=8m，EP=13m，則PA=5m．
∵PA=PB，
∴PB=5m，
∴sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{5}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中是解答問題（2）的關(guān)鍵．