Question

已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC為邊在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，連CD、BE交于F，連AF．
（1）①如圖1，若∠BAD=60°，則∠AFE=

 

度；
②如圖2，若∠BAD=90°，則∠AFE=

 

 度；
（2）如圖3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度數(shù)（用a表示），并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，求出∠DAC=∠BAE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得AM=AN，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADC，再求出∠DAM=∠BAN，然后求出∠MAN=∠BAD，利用“HL”證明Rt△AMF和Rt△ANF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠MAF=∠NAF，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AFE，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AM=AN，∠ABE=∠ADC，
∴∠DAM=∠BAN，
∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN，
=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN，
=∠BAE+∠BAD-∠BAE，
=∠BAD，
在Rt△AMF和Rt△ANF中，

AF=AF AM=AN

，
∴Rt△AMF≌Rt△ANF（HL），
∴∠MAF=∠NAF=

1

2

∠BAD，
在Rt△AEN中，∠AFE=90°-∠NAF=90°-

1

2

∠BAD，
（1）①若∠BAD=60°，則∠AFE=90°-

1

2

×60°=60°；
②若∠BAD=90°，則∠AFE=90°-

1

2

×90°=45°；
（2）若∠BAD=a°，則∠AFE=90°-

1

2

α°．
故答案為：60，45．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作出全等三角形的對應(yīng)邊上的高線并求出∠MAN=∠BAD．