Question

如圖，點A是反比例函數(shù)y₁=

2

x

（x＞0）圖象上的任意一點，過點A作AB∥x軸，交另一個反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）的圖象于B點．若不論點A在何處，反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）圖象上總存在一點D，使得四邊形AOBD為平行四邊形，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：假設y₂=

k

x

上有一點D，使四邊形AOBD為平行四邊形，過D作DE⊥AB，過A作AC⊥x軸，由四邊形AOBD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行且相等，利用AAS得到三角形AOC與三角形DBE全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=OC，DE=AC，設A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，得出D與B縱坐標，進而表示出D與B橫坐標，兩橫坐標之差的絕對值即為BE的長，利用等式，即可求出k的值．

解答：解：假設y₂=

k

x

上有一點D，使四邊形AOBD為平行四邊形，
過D作DE⊥AB，過A作AC⊥x軸，
∵四邊形AOBD為平行四邊形，
∴BD=OA，BD∥OA，
∴∠DBA=∠OAB=∠AOC，
在△AOC和△DBE中，

∠DBE=∠AOC ∠DEB=∠ACO=90° DB=AO

，
∴△AOC≌△DBE（AAS），
設A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，
∴BE=OC=a，DE=AC=

2

a

，
∴D縱坐標為

4

a

，B縱坐標為

2

a

，
∴D橫坐標為

ak

4

，B橫坐標為

ak

2

，
∴BE=|

ak

4

-

ak

2

|=a，即-

ak

4

=a，
∴k=-4．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關鍵．