Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-3x+2a+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a為符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x²-3x+2a+1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，求x₁²x₂+x₁x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-3）²-4（2a+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)（1）中a的范圍確定a=0，原方程化為x²-3x+1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，而x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂），然后利用整體代入方法計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（-3）²-4（2a+1）＞0，
解得a＜

5

8

；

（2）∵a＜

5

8

，
∴a的最大整數(shù)為0，
把a(bǔ)=0代入原方程得x²-3x+1=0，
則x₁+x₂=3，x₁•x₂=1
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂）=1×3=3．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．