Question

如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A、C為圓心，以大于

1

2

AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；
②作直線MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；
③過(guò)C作CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）當(dāng)∠ACB=90°，BC=6，AB=10，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由根據(jù)題意得：MN是AC的垂直平分線，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可證得CD∥AE，繼而證得四邊形ADCE是菱形；
（2）由∠ACB=90°，BC=6，AB=10，可求得AC的長(zhǎng)，易得DO是△ABC的中位線，又由四邊形ADCE是菱形，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵根據(jù)題意得：MN是AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）解：∵四邊形ADCE是菱形，
∴OA=OC，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴DE=6，
∵AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∴四邊形ADCE的面積為：

1

2

AC•DE=24．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．