Question

【題目】已知一次函數y=kx+b的圖象過P（1，4），Q（4，2）兩點，且與x軸交于A點．

（1）求A點坐標；

（2）已知點M在x軸上，若使MP+MQ的值最小，求點M的坐標及MP+MQ的最小值；

（3）在（2）的條件下，在坐標平面內是否還存在一點N，使M，N，A，Q四點恰好構成平行四邊形，若存在請求出點N的坐標，若不存在請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) A（7，0）;(2)3;(3)見解析.

【解析】

（1）把P（1，4），Q（4，2）代入y=kx+b，利用待定系數法即可求出此一次函數的解析式,然后得出點A的坐標;(2) 作Q點關于x軸的對稱點Q′，連接PQ′交x軸于點M，根據兩點之間線段最短得出此時MP+MQ的值最小．利用待定系數法求出直線PQ′的解析式，進而求出點M的坐標及MP+MQ即可．

解：（1）∵一次函數y=kx+b的圖象過P（1，4），Q（4，2）兩點，

∴函數解析式為：

∴直線PQ和x軸交于A（7，0）;

（2）作Q點關于x軸的對稱點Q′（4,-2），連接PQ′交x軸于點M，則MP+MQ的值最小,

∵P(1,4), Q′（4,-2）, ∴P Q′= ,此時MP+MQ最小，∴（MP+MQ）最小=P Q′=

（3）存在N(6,-2)，(8,2)或N(0,2)，

理由：如圖：

①∵A(7,0),M(3,0),

∴在平行四邊形MAQ中，Q=AM=7-3=4, ∵Q∥x軸，∴(8,2);

②在平行四邊形MAQ中，Q=AM=7-3=4,而Q∥x軸，∴(0,2);

③在平行四邊形QMA中, ∵MQ=A,∠QME=AF, ∠QEM=∠FA=90°，

∴△QME≌△AF, ∴QE=F=2,AF=ME=4-3=1, ∴OF=6, ∴(6,-2),

綜上所述：N(6,-2)，(8,2)或N(0,2).