Question

12．已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，AT=AB，OT交⊙O于M

（1）如圖1，BT交⊙O于E，求證：sin∠BTO=$\frac{BE}{2TO}$；
（2）如圖2，若TC切⊙O于點C，求tan∠CBM的值．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥BT于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出BF=EF=OF，再利用三角函數(shù)解答即可；
（2）根據(jù)切線的性質和平行線分線段成比例定理進行解答即可．

解答 解：（1）作OF⊥BT于F，則BF=EF=OF，

∴sin∠BTO=$\frac{OF}{OT}$=$\frac{\frac{1}{2}BE}{OT}$=$\frac{BE}{2OT}$
（2）∵BC∥OT，則∠CBM=∠BMO=∠ABM，作MN⊥AB于N，
∴tan∠AOT=$\frac{AT}{OA}$=2，
∴$\frac{MN}{ON}$=2，設ON=x，MN=2x，則OM=$\sqrt{5}$x=OB，
∴BN=（$\sqrt{5}$+1）x，
∴tan∠CBM=tan∠ABM=$\frac{MN}{BN}$=$\frac{2x}{（\sqrt{5}+1）x}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定和平行線分線段成比例定理的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線、靈活運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．