Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，AB=CD=10，BC=20．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B沿著B-C方向在BC邊上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿著C-D-A的方向在CD、DA邊以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在四邊形ABPQ是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP為等腰三角形？

Answer 1

解：（1）如圖所示，過點(diǎn)A作等腰梯形的高AE
在Rt△ABE中，可得AE=8，
S_梯形ABCD=（8+20）•8=112；

（2）①若四邊形ABPQ是平行四邊形，則點(diǎn)Q必須在AD上，
假設(shè)其存在，
則由題意可得，2t=8-2（t-5），
解之得，t=4.5
因?yàn)?.5-5＜0，
所以運(yùn)動(dòng)過程中不存在這樣的時(shí)刻使四邊形ABPQ是平行四邊形．
②要使△ABP為等腰三角形，可能AB=BP，AB=AP或AP=BP
當(dāng)AB=BP時(shí)，即2t=10，解之得，t=5
當(dāng)AB=AP時(shí)，由（1）可得，BP=12，即2t=12，t=6
當(dāng)AP=BP時(shí)，如圖所示，PE⊥AB
∵AB=10，∴BE=5，在Rt△PBE中，由（1）可求出∠B，
設(shè)BE=3x=5，則BP=5x，即2t=5x，
解之得，t=，
∴當(dāng)t=5，t=6，t=時(shí)，△ABP均為等腰三角形．
分析：（1）要求梯形的面積，有上下底邊的長(zhǎng)，求出高即可，作高，在直角三角形中，運(yùn)用勾股定理即可．
（2）①要使四邊形ABPQ是平行四邊形，則Q點(diǎn)必須在AD上，利用時(shí)間關(guān)系建立等式，解出時(shí)間t，看是否符合條件；
②△ABP為等腰三角形，則可能AB=AP，AB=BP或AP=BP，應(yīng)分別進(jìn)行討論．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)及判定．掌握平行四邊形的判定定理，要使一個(gè)三角形為等腰三角形，則存在多種情況，應(yīng)分類進(jìn)行討論．