Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系．此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；
（2）若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式；
（3）當(dāng)常數(shù)k滿足 ≤k≤2時(shí)，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令直線y=mx+1中x=0，則y=1，

即直線與y軸的交點(diǎn)為（0，1）；

將（0，1）代入拋物線y=x2﹣2x+n中，

得n=1．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

將點(diǎn)（1，0）代入到直線y=mx+1中，

得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m的值為﹣1，n的值為1．

（2）

解：將y=2x﹣4代入到y(tǒng)= 中有，

2x﹣4= ，即2x2﹣4x﹣6=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

∴該“路線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“帶線”l：y=2x﹣4中x=0，則y=﹣4，

∴“路線”L的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣4）．

設(shè)該“路線”L的解析式為y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，

由題意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，

解得：m=2，n=﹣ ．

∴此“路線”L的解析式為y=2（x+1）2﹣6或y=﹣ （x﹣3）2+2

（3）

解：令拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，則y=k，

即該拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，k）．

拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ），

設(shè)“帶線”l的解析式為y=px+k，

∵點(diǎn)（﹣ ， ）在y=px+k上，

∴ =﹣p +k，

解得：p= ．

∴“帶線”l的解析式為y= x+k．

令∴“帶線”l：y= x+k中y=0，則0= x+k，

解得：x=﹣ ．

即“帶線”l與x軸的交點(diǎn)為（﹣ ，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，k）．

∴“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S= |﹣ |×|k|，

∵ ≤k≤2，

∴ ≤ ≤2，

∴S= = = ，

當(dāng) =1時(shí)，S有最大值，最大值為 ；

當(dāng) =2時(shí)，S有最小值，最小值為 ．

故拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為 ≤S≤ ．

【解析】（1）找出直線y=mx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可求出n的值；再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線解析式中即可得出結(jié)論；（2）找出直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此設(shè)出拋物線的解析式，再由直線的解析式找出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論；（3）由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的解析式找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對(duì)應(yīng)的“帶線”l的解析式，找出該直線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積找出面積S關(guān)于k的關(guān)系上，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題已經(jīng)二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)“一帶一路”關(guān)系找出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)設(shè)出拋物線的解析式；（3）找出“帶線”l與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，解決該問(wèn)時(shí)，借用三角形的面積公式找出面積S與k之間的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的取值范圍．