Question

10．已知，在平面直角坐標系中，直線AB與Y軸正半軸、X軸正半軸分別交于A、B兩點，點A坐標為A（0，m），點B坐標為B（n，0），且滿足（m-3）¹+$\sqrt{n-4}$=0，
（1）分別求出點A，點B的坐標
（2）若點E在直線AB上，且滿足三角形AOE的面積等于三角形AOB的面積的三分之一，求點E的坐標．
（3）平移線段BAZ至DC，B與O是對應點，A與C是對應點，連接AC，E為BA腐乳延長線上一點，連接OE，OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F點，若∠ABO+∠OEB=α．請在圖2中將圖形補充完整，并求∠F（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出m、n的值，然后寫出點A、B的坐標即可；
（2）設點E的橫坐標為a，然后利用三角形的面積列式求出a的值，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求解即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥OC，AC∥OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）由非負數(shù)的性質(zhì)得，m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
所以，A（0，3）B（4，0）；

（2）當點E在第一象限時，同理可得E（4/3，2）
∵S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$×3（-a）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得a=-$\frac{4}{3}$，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以，直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當x=-$\frac{4}{3}$時，y=-$\frac{3}{4}$×（-$\frac{4}{3}$）+3=1+3=4，
所以，點E的坐標為（-$\frac{4}{3}$，4）；
當點E在第一象限時，同理可得E（$\frac{4}{3}$，2），
綜上所述，點E的坐標為（-$\frac{4}{3}$，4）；（$\frac{4}{3}$，2）；
（3）由平移的性質(zhì)，AB∥OC，AC∥OB，
∴∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，
∵OF平分∠COE，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE，
由三角形的內(nèi)角和定理，∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF，
∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE=∠F+$\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠F=∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE-$\frac{1}{2}$∠COE=∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE-$\frac{1}{2}$∠OEB=$\frac{1}{2}$（∠CAE+∠OEB），
∵∠ABO+∠OEB=α，
∴∠F=$\frac{α}{2}$．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，主要利用了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，難點在于（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理列出方程