Question

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同學將一個足夠大的透明的三角板的直角頂點放在BC的中點D處．
（1）若三角板的兩邊與△ABC的邊AB、AC分別交于點E、F，求證：△DEF是等腰三角形．
（2）小明同學將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊與△ABC的邊AB、AC分別交于點E、F，請你探究四邊形AEDF的面積是否變化？若沒有變化，請求出四邊形AEDF的面積；若有變化，請說明理由．
（3）小明同學繼續(xù)旋轉三角板，如圖2，當點E、F分別在AB、CA延長線上時，設BE的長為X，四邊形ADEF的面積為S，請?zhí)骄縎與x的函數(shù)關系式．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中

∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF為等腰三角形；

（2）解：四邊形ADEF的面積沒有變化，
理由：如圖1，∵△AED≌△CFD，
∴S_{四邊形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=S_△ABC=50；

（3）解：如圖2，由（1）中證明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
過點D作DM⊥AB，垂足為M，則DM=AB，
題目中AB=10．DM=AB=5，
故四邊形ADEF的面積S=S_△AEF+S_△AED=AE•AF+AE•DM=（x+10）x+（x+10）×5
即S=x²+x+25．
分析：（1）求出∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD=DC=DB，∠EDA=∠FDC，證△AED≌△CFD，推出ED=FD即可；
（2）四邊形ADEF的面積沒有變化，根據△AED≌△CFD求出S_{四邊形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△ADC=S_△ABC，代入求出即可；
（3）由（1）中證明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，同理△AFD≌△BED，推出BE=AF=x，過點D作DM⊥AB，垂足為M，則DM=AB=5，得出四邊形ADEF的面積S=S_△AEF+S_△AED=AE•AF+AE•DM，代入求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，主要考查學生的綜合運用性質進行推理的能力．