Question

7．如圖，△ABC中，BD為AC邊上的中線，BE平分∠CBD交AC于E，F(xiàn)為BC上一點，連接AF分別交BD、BE于H、G，且BH=BF，過C作CK∥AF交BD的延長線于K
（1）求證：CF=HK；
（2）若AB=BC=5，且AC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BHG=∠BFG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BHG=∠K，∠BFG=∠FCK，等量代換得到∠K=∠FCK，求得BK=BC，即可得到結(jié)論；
（2）過E作EM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD=$\frac{1}{2}$AC=3，根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{C}^{2}}$=4，由角平分線的性質(zhì)得到DE=EM，推出Rt△BDE≌Rt△BME，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=BD=4，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BH=BF，
∴∠BHG=∠BFG，
∵CK∥AF，
∴∠BHG=∠K，∠BFG=∠FCK，
∴∠K=∠FCK，
∴BK=BC，
∴BK-BH=BC-BF，
即HK=FC；

（2）解：過E作EM⊥BC于M，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC=5，AC=6，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{C}^{2}}$=4，
∵BE平分∠CBD交AC于E，BD⊥DC，EM⊥BC，
∴DE=EM，
在Rt△BDE與Rt△BME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{DE=ME}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△BME，
∴BM=BD=4，
∴MC=BC-BM=1，
設(shè)DE=x，則EC=DC-DE=3-x，ME=x，
∴EC²=ME²+MC²，
即（3-x）²=x²+1，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．