Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑OA的長(zhǎng)為2，點(diǎn)B是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為半徑的⊙A與線段OB相交于點(diǎn)C，AC的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)D．設(shè)線段AB的長(zhǎng)為x，線段OC的長(zhǎng)為y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）當(dāng)四邊形ABDO是梯形時(shí)，求線段OC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），定義域?yàn)?/span>；（2）OC的長(zhǎng)為或

【解析】試題分析：由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BC，再由OC=OB–BC得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）由梯形的性質(zhì)分情況討論：當(dāng)OD//A B時(shí)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出AB的值,進(jìn)而得出OC的長(zhǎng); ②當(dāng)BD//OA時(shí), 設(shè)∠ODA= ,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角得到∠ADB=α,由同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得到∠AOB=2α，由三角形外交性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到∠OAB＝∠OBA＝,由三角形內(nèi)角和定理得到∠BOA＝45°，∠BOD=90°，可得BD值，由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例得y值，進(jìn)而得到OC長(zhǎng).

試題解析：解：（1）在⊙O與⊙A中，∵OA=OB，AB=AC，∴∠ACB ＝∠ABC=∠OAB．

∴△ABC∽△OAB．

∴，∴，

∴，∵OC=OB–BC，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式，

定義域?yàn)?/span>．

（2）①當(dāng)OD//A B時(shí)，∴，∴，

∴，∴，

∴（負(fù)值舍去）．

∴AB=，這時(shí)ABOD，符合題意.

∴OC=．

②當(dāng)BD//OA時(shí)，設(shè)∠ODA= ，∵BD//OA，OA=OD，∴∠BDA=∠OAD=∠ODA= ，

又∵OB=OD，∴∠BOA＝∠OBD=∠ODB＝.

∵AB=AC，OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO＝．

∵∠AOB+∠OAB＋∠OBA=180°，∴，

∴，∠BOA＝45°．

∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，∴BD=. ∵BD//OA，∴．

∴，∴． ．

由于BDOA， 符合題意.

∴當(dāng)四邊形ABDO是梯形時(shí)，線段OC的長(zhǎng)為或．

或：過點(diǎn)B作BH⊥OA，垂足為H， BH=OH=，AH=2–，

∴.

∴.