Question

如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF

（1）證明四邊形ADEF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足條件

∠BAC=150°

時(shí)，四邊形ADEF為矩形．
（3）當(dāng)△ABC滿足條件

∠BAC=60°

時(shí)，四邊形ADEF不存在．
（4）當(dāng)△ABC滿足條件

AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）

時(shí)，四邊形ADEF為菱形．

Answer 1

分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；
（3）根據(jù)∠BAC=60°時(shí)，∠DAF=180°，此時(shí)D、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形就不存在；
（4）利用菱形的性質(zhì)與判定得出即可．

解答：證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中

AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)∠DAF=90°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；
故答案為：∠BAC=150°；

（3）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，∠DAF=180°，
此時(shí)D、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形就不存在；
故答案為：∠BAC=60°；

（4）當(dāng)AB=AC且∠BAC≠60°時(shí)，四邊形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，AD=AF，
∴平行四邊形ADEF是菱形．
故答案為：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．