Question

如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求證：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,切線長定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根據(jù)切線長定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°．從而證得∠BOC是個直角，從而得出BO⊥CO；
（2）根據(jù)勾股定理求得AB=10cm，根據(jù)Rt△BOF∽Rt△BCO得出BF=3.6cm，根據(jù)切線長定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，從而求得BE和CG的長．

解答：（1）證明：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BO⊥CO．

（2）解：連接OF，則OF⊥BC，
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴

BF

BO

=

BO

BC

，
∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm，
∴BC=

62+82

=10cm，
∴

BF

6

=

6

10

，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分別與⊙O相切，
∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4cm．
∴CG=CF=6.4cm．

點評：本題主要考查了切線長定理、勾股定理、相似三角形的綜合運用，正確理解切線長定理是解決本題的關(guān)鍵所在，雖然涉及的考點較多，但難度一般．