Question

11．如圖，在?ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
（2）若AB=13，AD=20，DE=12，求?BEDF的面積．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，證出∠BAC=∠DCA，由垂線的性質(zhì)得出BF∥DE，∠AFB=∠CED=90°，由AAS證明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，AF=EC，即可得出四邊形BEDF是平行四邊形．
（2）由勾股定理求出EC，得出AF，由勾股定理求出AE，得出EF，即可得出?BEDF的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF∥DE，∠AFB=∠CED=90°，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}&{\;}\\{∠AFB=∠CED}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，AF=EC，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
（2）∵AB=13，
∴CD=13，
∴EC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴AF=5，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∴EF=AE-AF=11，
∴?BEDF的面積=2×$\frac{1}{2}$×11×12=132．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．