Question

某工廠生產一種產品，當生產數量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y（萬元/噸）與生產數量x（噸）的函數關系式如圖所示．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當生產這種產品的總成本為280萬元時，求該產品的生產數量；（注：總成本=每噸的成本×生產數量）
（3）當產品的生產數量為多少時，總成本最低．

Answer 1

分析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），由待定系數法求出其解即可；
（2）根據（1）的解析式由總成本=每噸的成本×生產數量建立方程求出其解即可．
（3）設總成本為w，由總成本=每噸的成本×生產數量表示出w，由二次函數的性質就可以求出結論．

解答：解：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），由函數圖象，得

10=10k+b 6=50k+b

，
解得：

k=- 1 10 b=11

y=-

1

10

x+11（10≤x≤50）；

（2）由題意，得
280=（-0.1x+11）x．
整理，得：x²-110x+2800=0．
解得：x₁=40，x₂=70，
∵10≤x≤50，
∴x=40．
當生產這種產品的總成本為280萬元時，該產品的生產數量為40噸；

（3）設總成本為w，由題意，得
w=（-0.1x+11）x，
=-0.1x²-11x，
=-0.1（x-55）²+320.5
∴a=-0.1＜0，
∴當10＜x＜50時，w隨x的增大而增大．
∴當x=10時，w_最小=118．
∴當產品的生產數量為10時，總成本最低為118萬元．

點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，二次函數的解析式的運用，一元二次方程的解法的運用，二次函數的頂點式的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．