Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，若⊙O的半徑為6cm，且∠AED=45°．
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由
（2）求圖中陰影部分面積；
（3）若sin∠ADE=

3

2

，求線段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OD、DB，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠ABD=∠AED=45°，則△ADB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC∥AB，所以DO⊥DC，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DC為⊙O的切線；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC=AB=12cm，然后根據(jù)扇形的面積公式和陰影部分面積=S_梯形DOBC-S_扇形BOD進(jìn)行計(jì)算；
（3）作AH⊥DE于H，由△ADB為等腰直角三角形得到AD=

2

2

AB=6

2

，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到∠ADH=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DH=

1

2

AD=3

2

，AH=

3

DH=3

6

，在Rt△AEH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得EH=AH=3

6

，所以DE=（3

2

+3

6

）cm．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連接OD、DB，如圖，
∵AB⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠AED=45°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴DO⊥DC，
∴DC為⊙O的切線；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB=12cm，
∴陰影部分面積=S_梯形DOBC-S_扇形BOD
=

1

2

×（6+12）×6-

90•π•62

360

=（54-9π）cm²；
（3）作AH⊥DE于H，如圖，
∵△ADB為等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=6

2

，
∵sin∠ADE=

3

2

，
∴∠ADH=60°，
在Rt△ADH中，DH=

1

2

AD=3

2

，
AH=

3

DH=3

6

，
在Rt△AEH中，EH=AH=3

6

，
∴DE=（3

2

+3

6

）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和扇形的面積公式．