Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊在x軸上，反比例函數(shù)y-$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)菱形兩對(duì)交線的交點(diǎn)，且與AB所在直線交于點(diǎn)D，已知AC•OB=64$\sqrt{2}$，OC=8，則以下結(jié)論：①k=-16$\sqrt{2}$；②點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4$\sqrt{2}$；③∠OBC=22.5°；④反比例函數(shù)y=-$\frac{k}{x}$隨x的增大而增大；⑤tan∠AOC=1，其中正確的是（　�。�

• A． ①③⑤
• B． ②③⑤
• C． ②③④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC于點(diǎn)F．①運(yùn)用菱形的面積公式可求出△ECO的面積，根據(jù)△EFO的面積小于△ECO的面積可解決問(wèn)題；②要求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，只需根據(jù)菱形的面積公式（底乘以高）求出OH即可；③只需解直角三角形OHA，就可求出∠AOH，即可得到∠AOC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，就可求出∠OBC；④只需根據(jù)k的符號(hào)，就可確定反比例函數(shù)y=-$\frac{k}{x}$的增減性；⑤根據(jù)∠AOC的度數(shù)即可得到tan∠AOC的值．

解答 解：延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC于點(diǎn)F，如圖．
①∵四邊形OABC是菱形，
∴S_菱形OABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×64$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$，
∴S_△ECO=$\frac{1}{4}$S_菱形OABC=8$\sqrt{2}$，
∴S_△EFO=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$（-k）＜8$\sqrt{2}$，
∴k＞-16$\sqrt{2}$．故①錯(cuò)誤；
②∵S_菱形OABC=OC•OH=8OH=32$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，故②正確；
③在Rt△OHA中，
∵OA=OC=8，OH=4$\sqrt{2}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$=OH，
∴tan∠AOH=1，
∴∠AOH=45°，
∴∠AOC=45°．
∵四邊形OABC是菱形，
∴∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，故③正確；
④由圖可知k＜0即-k＞0，反比例函數(shù)y=-$\frac{k}{x}$在一、三象限，
所以在每個(gè)象限y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；
⑤tan∠AOC=tan45°=1，故⑤正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，運(yùn)用菱形的面積公式（菱形的面積等于底乘以高，也等于對(duì)角線乘積的一半）是解決本題的關(guān)鍵．