Question

12．如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、CBN為等邊三角形，AN、CM交于E，BM、CN交于F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）說明△CAN≌△CMB；
（2）說明△CEF為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進而可由SAS得到△CAN≌△CMB，結(jié)論得證；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．

解答 證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△CAN和△CMB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{NC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAN≌△CMB（SAS）；

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CMF}\\{CA=CM}\\{∠ACE=∠MCF}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．