Question

（2007•鄂爾多斯）如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+2nx+n²-9（n為常數(shù)）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和x軸上另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)在第一象限．
（1）確定拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在四邊形OABC內(nèi)有一矩形MNPQ，點(diǎn)M，N分別在OA，BC上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），點(diǎn)Q，P在x軸上．當(dāng)MN為多少時(shí)，矩形MNPQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)及頂點(diǎn)在第一象限的特點(diǎn)可求出n的值，進(jìn)而求出其解析式．
（2）根據(jù)（1）中拋物線(xiàn)的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，作AH⊥x軸于H．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)△OMQ∽△OAH可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知QP的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積公式可列出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出其最大值．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)（0，0）點(diǎn)．
∴n²-9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵頂點(diǎn)在第一象限，
∴-=n＞0且==n²＞0（不寫(xiě)不扣分），
∴n=3（3分）
∴拋物線(xiàn)y=-x²+6x（4分）
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9）．（5分）

（2）如圖所示，作AH⊥x軸于H．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴=（7分）
∴=，
∴y=4x（8分）
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x（10分）
∴當(dāng)x=-=-=時(shí)，（11分）MN=6-×2=3時(shí)，S_MNPQ最大=-8×+24×=18，
答：MN等于3時(shí)，矩形MNPQ的最大面積是18．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，但難度不大．