Question

設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x³和x²+x+2的值的大小．

 

Answer 1

【答案】

當(dāng)x=2時，x³=x²+x+2；當(dāng)0＜x＜2時，x³＜x²+x+2；當(dāng)x＞2時，x³＞x²+x+2

【解析】

試題分析：分析與解本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．然后做減法，因式分解后，討論得解．

解：設(shè)x=0，

則x³＜x²+x+2．①

設(shè)x=10，則有x³=1000，x²+x+2=112，

所以x³＞x²+x+2．②

設(shè)x=100，則有x³＞x²+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時，x³＜x²+x+2；當(dāng)x值較大時，x³＞x²+x+2．

那么自然會想到：當(dāng)x=？時，x³=x²+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．

為此，設(shè)x³=x²+x+2，則

x³﹣x²﹣x﹣2=0，

（x³﹣x²﹣2x）+（x﹣2）=0，

（x﹣2）（x²+x+1）=0．

因為x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x﹣2=0，所以x=2．這樣

（1）當(dāng)x=2時，x³=x²+x+2；

（2）當(dāng)0＜x＜2時，因為

x﹣2＜0，x²+x+1＞0，

所以（x﹣2）（x²+x+1）＜0，

即x³﹣（x²+x+2）＜0，

所以，x³＜x²+x+2．

（3）當(dāng)x＞2時，因為

x﹣2＞0，x²+x+1＞0，

所以（x﹣2）（x²+x+1）＞0，

即x³﹣（x²+x+2）＞0，

所以x³＞x²+x+2．

綜合歸納（1），（2），（3）就得到本題的解答．

考點：因式分解的應(yīng)用．

點評：本題考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到比較大小的臨界點，然后討論求解．