(2005•溫州)如圖,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D.點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā),其中點P沿BC向終點C運動,速度為1cm/s;點Q沿CA、AB向終點B運動,速度為2cm/s,設它們運動的時間為x(s).
(1)當x=______時,PQ⊥AC,x=______時,PQ⊥AB;
(2)設△PQD的面積為y(cm2),當0<x<2時,求y與x的函數(shù)關系式為______
【答案】分析:(1)若使PQ⊥AC,則根據(jù)路程=速度×時間表示出CP和CQ的長,再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;
若使PQ⊥AB,則根據(jù)路程=速度×時間表示出BP,BQ的長,再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;
(2)首先畫出符合題意的圖形,再根據(jù)路程=速度×時間表示出BP,CQ的長,根據(jù)等邊三角形的三線合一求得PD的長,根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得PD邊上的高,再根據(jù)面積公式進行求解;
(3)根據(jù)三角形的面積公式,要證明AD平分△PQD的面積,只需證明O是PQ的中點.根據(jù)題意可以證明BP=CN,則PD=DN,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明;
(4)根據(jù)(1)中求得的值即可分情況進行討論.
解答:解:(1),
當Q在AB上時,顯然PQ不垂直于AC,
當Q在AC上時,由題意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,則有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=;
當x=(Q在AC上)時,PQ⊥AC;
如圖:①
當PQ⊥AB時,BP=x,BQ=,AC+AQ=2x;
∵AC=4,
∴AQ=2x-4,
∴2x-4+x=4,
∴x=,
故x=時PQ⊥AB;

(2)y=-x2+x,
如圖②,當0<x<2時,P在BD上,Q在AC上,過點Q作QN⊥BC于N;
∵∠C=60°,QC=2x,
∴QN=QC×sin60°=x;
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=BC=2,
∴DP=2-x,
∴y=PD•QN=(2-x)•x=-x2+x;

(3)當0<x<2時,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分△PQD的面積;

(4)顯然,不存在x的值,使得以PQ為直徑的圓與AC相離,
當x=時,以PQ為直徑的圓與AC相切,
當0≤x<<x<<x≤4時,以PQ為直徑的圓與AC相交.
點評:此題綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及直線和圓的位置關系求解.
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