Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CB⊥AB，連接OC過(guò)A作AD∥OC交⊙O于D，連接CD并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AE=1，DE=2，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先利用SAS證明△COD≌△COB，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)OA=OD=x，在Rt△EDO中，根據(jù)勾股定理得出ED²+OD²=EO²，據(jù)此列出方程2²+x²=（x+1）²，解方程求出x=

3

2

，進(jìn)而得出AB=2AO=3．

解答：（1）證明：∵OB、OD為⊙O的半徑，
∴OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD∥OC，
∴∠OAD=∠COB，∠ODA=∠COD，
∴∠COD=∠COB．
在△CDO和△CBO中，

OD=OB ∠COD=∠COB CO=CO

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)OA=OD=x．
在Rt△EDO中，ED²+OD²=EO²，
∴2²+x²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
∴AB=2AO=3，
∴AB的長(zhǎng)為3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．