Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長(zhǎng)。小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題：

（1）AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，證明四邊形AEGF是正方形；

（2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形AEGF是正方形; （2）x=12．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到AE=AF，從而說(shuō)明四邊形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x﹣4）²+（x﹣6）²=10²，求出AD=x=12．

試題解析：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF．

∴矩形AEGF是正方形．

（2）解：設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x．

∵BD=4，DC=6

∴BE=4，CF=6

∴BG=x﹣4，CG=x﹣6

在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，

∴（x﹣4）²+（x﹣6）²=10²．

化簡(jiǎn)得，x²﹣10x﹣24=0

解得x₁=12，x₂=﹣2（舍去）

所以AD=x=12．

考點(diǎn):折疊問(wèn)題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.