Question

10．我校運(yùn)動(dòng)會(huì)需購買A、B兩種獎(jiǎng)品．若購買A種獎(jiǎng)品3件和B種獎(jiǎng)品2件，共需60元；若購買A種獎(jiǎng)品5件和B種獎(jiǎng)品3件，共需95元．
（1）求A、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校計(jì)劃購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，購買費(fèi)用不超過1150元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍．設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，購買費(fèi)用為W元，寫出W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式并確定花費(fèi)最少的購買方案．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)花費(fèi)=購買單價(jià)×購買數(shù)量，可以得出W關(guān)于m的函數(shù)解析式，由已知給定的條件可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=60}\\{5x+3y=95}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=15}\end{array}\right.$．
答：A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元．
（2）購買A種獎(jiǎng)品m件，則購買B種獎(jiǎng)品100-m件，
根據(jù)題意可知：W=10m+15（100-m）=1500-5m，
且m滿足$\left\{\begin{array}{l}{m≤3（100-m）}\\{1500-5m≤1150}\end{array}\right.$，即70≤x≤75．
由于W（元）關(guān)于m（件）之間的函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)m=75時(shí)，W最小，且此時(shí)W=1125，100-75=25（件）．
答：W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式為W=1500-5m（70≤x≤75），當(dāng)A種獎(jiǎng)品購買75件，B種獎(jiǎng)品購買25件時(shí)，花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為1125元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、解二元一次方程組以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵：（1）找出關(guān)于A、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)的二元一次方程組；（2）由花費(fèi)=購買單價(jià)×購買數(shù)量找出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該類題型需要了解題中各數(shù)量之間的關(guān)系，以及能結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．