Question

如圖甲，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至M，C），以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P的切線交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）求四邊形CDFP的周長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)連接OF，OP，求證：OF⊥OP；
（3）延長(zhǎng)DC，F(xiàn)P相交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線DC于H（如圖乙）．是否存在點(diǎn)P使△EFO∽△EHG（其對(duì)應(yīng)關(guān)系是E←→E，F(xiàn)←→H，O←→G）？如果存在，試求此時(shí)的BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由ABCD為正方形，得到∠A與∠B都為直角，根據(jù)切線的判斷方法，得到AD與BC都為圓的切線，又PF為圓O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得到FE=FA，PE=PB，根據(jù)等量代換的方法得到四邊形CDFP的周長(zhǎng)等于AD+BC+CD，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為2，求出周長(zhǎng)即可；
（2）連接OF，OP，OE，由AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，又由∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，即可證得OF⊥OP；
（3）存在．理由是：當(dāng)Rt△EFO∽R(shí)t△EHG時(shí)，必須使∠EHG=∠EFO，而根據(jù)平行得到∠EHG=∠EOA=2∠EOF，即∠EFO=2∠EOF，又因?yàn)椤螰EO為90°，所以∠EOF=∠AOF=30°，根據(jù)30°的正切值求出AF的長(zhǎng)即為y的值，然后代入（2）中的函數(shù)關(guān)系式即可求出x的值．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切線，
又∵PF是⊙O的切線，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四邊形CDFP的周長(zhǎng)為：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）證明：連接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP；

（3）解：存在．理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG，
設(shè)AF=y，BP=x，
此時(shí)在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，
即x=

1

y

=

3

，
解得：x=

3

 ，y=

3

3

，
∴當(dāng) x=

3

，y=

3

3

時(shí)，△EFO∽△EHG．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．