Question

自然數(shù)n≥1，滿足：2002×n是完全立方數(shù)，n÷2002是完全平方數(shù)．這樣的n中的最小者是

2002⁵

Answer 1

分析：由2002=2×7×11×13，而2002×n是完全立方數(shù)，n÷2002是完全平方數(shù)，因此得到當(dāng)n最小時(shí)，n除了2，7，11，13外，沒有別的質(zhì)因數(shù)，設(shè)n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整數(shù)），再根據(jù)題意得到a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍數(shù)；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍數(shù)，所以即可得到n最小時(shí)a，b，c，d的值，從而得到n中的最小者．

解答：解：∵2002=2×7×11×13，
而2002×n是完全立方數(shù)，n÷2002是完全平方數(shù)，
∴n最小時(shí)，n除了2，7，11，13外，沒有別的質(zhì)因數(shù)，設(shè)n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整數(shù)），
∴a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍數(shù)；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍數(shù)，
∴當(dāng)a=b=c=d=5，n最小，
∴n中的最小者是2⁵×7⁵×11⁵×13⁵=2002⁵．
故答案為：2002⁵．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)和完全立方數(shù)的概念．也考查了對(duì)正整數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解的能力．