Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以D為圓心、2為半徑畫圓，點G是⊙D上任意一點，連接GD、AG．將GD繞點D按順時針方向旋轉90°，得到DH，連接CH、GH．
（1）當CH與⊙D相切時，
①求證：AG與⊙D相切；
②求點H到CD的距離．
（2）請直接寫出點B到CH的距離的最大值．

Answer 1

考點：切線的判定,正方形的性質,旋轉的性質

專題：證明題

分析：（1）①根據(jù)切線的性質由CH與⊙D相切得到∠CHD=90°，根據(jù)正方形的性質得∠ADC=90°，DA=DC，根據(jù)旋轉的性質得∠GDH=90°，則利用同角的余角相等得∠ADG=∠CDH，再證明△ADG≌△CDH，得到∠AGD=∠CHD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到AG與⊙D相切；
②作HE⊥CD于E，在Rt△CDH中，根據(jù)勾股定理出計算CH=2

3

，再根據(jù)面積法得

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，即可計算出HE=

3

；
（2）當點H為CD⊙的交點時，點B到CH的距離最大，最大值為BC的長．

解答：（1）①證明：∵CH與⊙D相切，
∴DH⊥CH，
∴∠CHD=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∵GD繞點D按順時針方向旋轉90°，
∴∠GDH=90°，
∴∠ADG+∠GDC=∠GDC+∠CDH，
∴∠ADG=∠CDH，
在△ADG和△CDH中

DA=DC ∠ADG=∠CDH DG=DH

，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴∠AGD=∠CHD=90°，
∴AG⊥DG，
∴AG與⊙D相切；
②解：作HE⊥CD于E，如圖，
在Rt△CDH中，DH=2，CD=4，
∴CH=

CD2-DH2

=2

3

，
∵

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，
∴HE=

2×2 3

4

=

3

；
（2）解：點B到CH的距離的最大值為4．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線的性質、旋轉的性質和正方形的性質．