Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²-2x+c的圖象與x軸分別交于A，B兩點，頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M．
（1）若A（-2，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM的面積．
（3）當(dāng)c=0時，試判斷四邊形AMBM的形狀，并請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）把點A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，計算求出c的值，即可得解；
（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點式解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點B的坐標(biāo)，從而求出AB的長，再根據(jù)頂點坐標(biāo)求出點M到x軸的距離，然后求出△ABM的面積，根據(jù)對稱性可得S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM，計算即可得解；
（3）四邊形AMBM的形狀是正方形，易求A，B的坐標(biāo)，又因為AB和MM′互相平分且垂直，所以四邊形是正方形．

解答：解：（1）∵A（-2，0）在二次函數(shù)y=

1

2

x²-x+c的圖象，

1

2

×（-2）²-（-2）+c=0，
解得c=-6，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=

1

2

x²-2x-6；

（2）∵y=

1

2

x²-2x-6=

1

2

（x-2）²-8，
∴頂點M的坐標(biāo)為（2，-8），
∵A（-2，0），對稱軸為x=2，
∴點B的坐標(biāo)為（6，0），
∴AB=6-（-2）=6+2=8，
∴S_△ABM=

1

2

×8×8=32，
∵頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′，
∴S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM=2×32=64；

（3）四邊形AMBM的形狀是正方形，
理由如下：
∵c=0，
∴y=

1

2

x²-2x，
∴A坐標(biāo)（0，0）B坐標(biāo)（4，0），
∴頂點M坐標(biāo)為（2，-2），
∴AB=MM′
又∵AB和MM′互相平分且垂直，
∴四邊形AMBM的形狀是正方形．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了待定系數(shù)法求函二次數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)的求解，二次函數(shù)的對稱性，以及正方形的對角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不是很大．